「無限と連続」の数学――微分積分学の基礎理論案内
瀬山士郎 著

まえがき

第１章　ロルの定理を見直す
	1.1 微分積分学の根底に流れているもの
	　1.1.1 近代の世界観を生んだ微分積分学
	　1.1.2 微分積分学と実数の連続性
	　1.1.3 実数の連続性から位相空間論へ
	1.2 微分係数と微分、導関数
	　1.2.1 高等学校での微分の定義
	　1.2.2 リミット（lim）をやめてしまおう？
	　1.2.3 微分の数式を日本語に翻訳すると？
	　1.2.4 「微分」という名詞と「微分する」という動詞
	　1.2.5 微分と導関数との関係
	　1.2.6 微分と関数の変化の様子との関係
	1.3 平均値の定理、テーラーの定理を見直す
	　1.3.1 平均値の定理を見直す
	　1.3.2 平均値の定理のもとになるロルの定理
	　1.3.3 テーラーの定理を理解する
	1.4 テーラーの定理の内容
	　1.4.1 関数とは、そもそも何か？
	　1.4.2 微分可能な関数のマクローリン展開
	1.5 ロルの定理を証明してみる
	　1.5.1 ロルの定理とその証明
	　1.5.2 ロルの定理の物理的な意味
	　1.5.3 ロルの定理の証明に穴はあるか？

第２章　実数の連続性ということ
	2.1 ロルの定理の問題点
	　2.1.1 連続関数と最大値・最小値の存在
	　2.1.2 開区間と閉区間の大きな違い
	2.2 実数の性質(1) 四則演算と大小
	　2.2.1 数と等号・不等号
	　2.2.2 数と四則演算
	　2.2.3 不等号と演算
	2.3 実数の性質(2) 稠密性とアルキメデス性
	　2.3.1 稠密性
	　2.3.2 アルキメデス性
	2.4 実数の性質(3) 連続性と切断公理
	　2.4.1 実数R の切断
	　2.4.2 整数Z の切断と有理数Q の切断
	　2.4.3 デデキントの切断公理
	2.5 有界集合の上限・下限の存在
	　2.5.1 有界な集合とは？
	　2.5.2 有界集合の上限・下限の存在の証明
	2.6 有界単調数列の極限値の存在
	　2.6.1 数列の極限値
	　2.6.2 数列の収束性の2 つの定義
	　2.6.3 数列の収束から見た実数の連続性
	　2.6.4 指数関数の底e が存在すること
	2.7 区間縮小法の原理
	　2.7.1 閉区間・開区間とその縮小列
	　2.7.2 開区間の縮小列の性質
	　2.7.3 閉区間縮小法の原理
	　2.7.4 p2 は本当にあるのか？
	　2.7.5 連続性の公理と諸定理の同値性

第３章　数列の極限と四則演算
	3.1 数列の極限再説
	3.2 数列の四則と極限
	3.3 正の項の数列の極限値について

第４章　関数の連続性について
	4.1 関数の連続性
	　4.1.1 連続性の近傍による表現とε-δによる表現
	　4.1.2 身近な関数の連続性を確かめる
	　4.1.3 やや技巧的な連続性の証明の紹介
	4.2 関数の連続性と数列
	　4.2.1 連続性の表現の言い換え
	　4.2.2 f(a + b) = f(a) + f(b) をみたす関数
	　4.2.3 連続な関数と四則演算
	4.3 中間値の定理
	　4.3.1 中間値の定理を証明する
	　4.3.2 存在定理とはどういうものか？
	4.4 最大値・最小値の定理
	　4.4.1 連続関数と有界性
	　4.4.2 ワイエルシュトラスの定理を証明する
	　4.4.3 中間値の定理の実用的なバージョン

第５章　関数の一様連続性と積分の存在
	5.1 ハイネ＝ボレルの被覆定理
	　5.1.1 開被覆とはどういうものか？
	　5.1.2 開被覆による、開区間と閉区間の違い
	　5.1.3 ハイネ＝ボレルの被覆定理とその証明
	5.2 コンパクトという性質 
	　5.2.1 コンパクトとはなにか？
	　5.2.2 コンパクト集合と連続写像
	5.3 ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
	　5.3.1 数列の部分列の収束性
	　5.3.2 ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を証明する
	　5.3.3 ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理の証明を吟味する
	5.4 閉区間と関数の一様連続性
	　5.4.1 区間の上での連続性を考える
	　5.4.2 閉区間で連続な関数の一様連続性
	5.5 定積分の存在と原始関数
	　5.5.1 「微分積分学の基本定理」の問題点？
	　5.5.2 区分求積による積分の定義
	　5.5.3 閉区間上の連続関数の積分の存在
	　5.5.4 積分の2 つの性質（線形性と加法性）
	　5.5.5 連続関数の積分平均値の定理
	　5.5.6 連続関数の原始関数の存在定理

第６章　位相空間と連続写像
	6.1 数直線から位相空間へ
	6.2 位相空間としての数直線
	　6.2.1 一般的な開集合と閉集合の定義
	　6.2.2 一般的な開集合と閉集合の性質
	　6.2.3 位相とはなにか？
	　6.2.4 閉集合と数列の極限値
	　6.2.5 開核・閉包による開集合・閉集合の定義
	6.3 連続写像とε-δ論法
	　6.3.1 連続写像と開集合の逆像との関係
	　6.3.2 ε-δ論法を使わずに、写像の連続性を定義する
	　6.3.3 連続写像による開集合・閉集合の像
	6.4 最大値・最小値の定理とコンパクト性
	　6.4.1 一般化した位相空間でのコンパクト性
	　6.4.2 有界閉集合とコンパクト性
	　6.4.3 位相という観点から、ワイエルシュトラスの定理をみる

進んで学ぶ人のために――ブックガイド

索引