『math stories　変化をとらえる』
上野健爾・新井紀子監修／高橋陽一郎 著


math stories 刊行にあたって
はじめに

CHAPTER１　変化を表す
1.1 いろいろなグラフ
	1.1.1 図やグラフに表す
	1.1.2 いろいろな方眼紙
	   ●――片対数方眼紙
	   ●――両対数方眼紙
	  　【コラム】マグニチュードは，1.5桁区切り？
	  　【コラム】素数の分布
	   ●――三角眼紙
1.2 増大・減少を見る
	1.2.1 倍々で増加する現象
	  　“魔法の数”72
	1.2.2 定率で減少する現象
	1.2.3 驚くほどはやく増える階乗
1.3 近づく
	1.3.1 連続複利金利のカラクリ
	1.3.2 「極限」という概念
	  　【コラム】「アキレウスと亀」を超える論理
	       ●――例と反例
	1.3.3 自然対数の底，e
	  　【コラム】フラクタル図形

CHAPTER２　式で表す
2.1 数式で表す
	2.1.1 比例式と反比例式
	  　＊比と音階
	2.1.2 円錐曲線
	       ●――放物線
	       ●――楕円と双曲線
	2.1.3 不等式で表す
	2.1.4 式に関する言葉
	  　【コラム】べきと累乗
	  　【コラム】多項式と単項式
	  　【コラム】1次分数式と1次変換
2.2 式を見る
	2.2.1 (a+b)^nを調べる
	  　【コラム】急がば回れ
	2.2.2 二項係数とパスカルの三角形
	  　【コラム】二項係数のみたす関係式
	2.2.3 再び，(1+x/n)^n
	  　【コラム】もっとも簡単なべき級数
	  　【コラム】厳密でなければ数学ではない。しかし，……
	2.2.4 eの値を求める
	  　【コラム】電卓やコンピュータによる計算
	2.2.5 指数法則を証明する
	  　【コラム】有名なインチキ証明
2.3 関数としてとらえる
	2.3.1 さまざまな関数
	  　【コラム】もっとも極端な場合を含めて考える
	2.3.2 逆関数を作る
	2.3.3 陰関数と陽関数
	  　【コラム】常用関数の近似値

CHAPTER３　変化を読む
3.1 拡大して見る
	3.1.1 拡大すれば「直線」
	  　【コラム】拡大しても直線に近づかない関数
	3.1.2 「接線」の意味
	  　【コラム】楕円・放物線・双曲線の接線
	3.1.3 「速度」の意味
	  　【コラム】古典力学の黎明期
	3.1.4 接線を式で表す
3.2 連続性から読みとれること
	3.2.1 連続関数の意味
	   ●――関数の極限
	   ●――関数の連続性
	3.2.2 連続関数の性質
	  　【コラム】3点を通る放物線
	3.2.3 中間値の定理
	3.2.4 最大値の定理
	  　【コラム】見かけ上の不連続点
	  　【コラム】蛇足
	  　【コラム】数学を読み解くこと……直観と論理
3.3 微係数と導関数
	3.3.1 微係数
	3.3.2 導関数
	  　【コラム】微分の表記
	3.3.3 微分の性質
	  　【コラム】積の増分
	3.3.4 指数関数の微分
	3.3.5 三角関数の微分
	  　【コラム】オイラーの公式
	3.3.6 逆関数の微分
	3.3.7 高階の導関数
	  　【コラム】多項式の微分法
3.4 関数の増減を読む
	3.4.1 関数の山頂や谷底を調べる
	3.4.2 関数の増減を判定する
	  　【コラム】「局所的」と「大域的」
	  　【コラム】「関数のグラフが近づく」vs「関数の値が近づく」
	  　【コラム】sinx，cosxのべき級数表示とオイラーの公式
	3.4.3 増大の早さくらべ
	  　【コラム】0^0＝1
	3.4.4 テイラーの定理
	  　【コラム】曲率円
	3.4.5 テイラー展開
	  　【コラム】解析関数と無限回微分可能な関数

CHAPTER４　変化を集める
4.1 面積をとらえる
	4.1.1 原始関数と不定積分
	4.1.2 「面積」とは何か？
	  　【コラム】放物線の弦と弧で囲まれた面積
	4.1.3 面積を求めてみる
	  　【コラム】直観の通用しない「面積・体積」
4.2 積分する
	4.2.1 積分の意味とリーマン和
	  　【コラム】連続性の度合（振幅）と一様連続性
	4.2.2 積分の基本性質と微分積分学の基本定理
	4.2.3 積分公式は微分の「逆引き」
	  　【コラム】テイラーの定理（精密化）
	  　【コラム】“積分祭”
4.3 積分でとらえる
	4.3.1 体積を考える
	  　【コラム】「正当化」ではなく，「正統化」
	  　【コラム】カヴァリエリの原理
	  　【コラム】貯水槽の水位
	4.3.2 数列の和と広義積分
	  　【コラム】相転移現象
4.4 微分方程式でとらえる
	4.4.1 微分方程式とガリレイ
	4.4.2 指数的増減を記述する微分方程式
	4.4.3 微分方程式の解と漸近挙動
	4.4.4 2 階の微分方程式の表す現象
	  　【コラム】高次元の微分方程式
	  　【コラム】「線形」と「線型」
	4.4.5 微分方程式と線型性
	  　【コラム】関数を定める微分方程式

COLUMN ランダムな運動に法則を見出す（楠見明弘＋藤原敬宏） 　
細胞膜の中で，分子はブラウン運動をしている
ランダム運動はニュートン力学で理解できるか？
	――うまい関数を見つける
細胞膜分子のブラウン運動は，細胞が少し制御していた
	――細胞研究にも関数が大切な役割をする

引用・参考文献，さらなる「数学の森」へのブックガイド
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