『math stories　数学の視点』
上野健爾・新井紀子監修／上野健爾 著


math stories 刊行にあたって
はじめに

CHAPTER 1　数学の考え方―― 方程式を例にして
1.1 つるかめ算から連立方程式へ
1.1.1 つるかめ算
1.1.2 自分で問題を作ってみよう
1.1.3 式を立てる
1.2 連立方程式から行列へ
1.2.1  3元連立方程式―― 古代中国の解法
1.2.2 行列の発見
1.2.3 行列の和と差，スカラー倍
1.2.4 行列の積
1.2.5 行列のわり算―― 単位行列と逆行列
1.2.6  3行3列の行列の逆行列
1.2.7  3行3列の行列式と逆行列
1.2.8 連立方程式の解法と行列の変形
1.3 幾何学的視点からみた連立方程式
1.3.1 連立方程式と函数のグラフ
1.3.2 連立方程式と線形空間・線形写像
 より抽象的な線形空間と線形写像

CHAPTER 2　数とは何か―― 古代ギリシアから19 世紀実数論の完成まで
2.1 整数のもつ性質
2.1.1 結合法則と分配法則
2.1.2 ユークリッドの互除法
2.1.3 素因数分解の一意性
2.1.4 「素数は無限にある」ことの証明
2.1.5 最大公約数
2.1.6 イデアルの導入
2.2 整数の合同
2.2.1 合同
2.2.2 倍数の判定法への応用
2.3 分数と循環小数
2.3.1 分数の導入
2.3.2 循環小数
2.3.3 循環節の長さとオイラーの函数
2.4 新しい数の体系――可換環と有限体
2.4.1 可換環Z/nZ 
2.4.2  Z/nZ でわり算はできるか？
2.4.3 有限体とフェルマーの小定理
2.4.4 オイラーの定理の証明
2.5 実数とは何か，どう定義できるのか？
2.5.1 無理数の発見―― プラトン『テアイテトス』より
2.5.2 カントールの実数論
2.5.3 デデキントの実数論
2.5.4 数列の収束とエプシロン・デルタ論法
 ヨーロッパ言語と日本語の違い
 結合法則が成り立たない代数系

CHAPTER 3　座標―― 幾何から代数へ
3.1 三平方の定理と三角比
3.1.1 数を線分で表す―― 公式の図形的証明
3.1.2 三平方の定理
3.1.3 角度と三角比
3.1.4 一般の角の三角比
3.2 平面座標と三角函数
3.2.1 座標による三角函数の定義
3.2.2 余弦定理と三角函数の加法公式
 弧度法―― 新しい角度の単位
3.3 幾何から代数へ―― 角の三等分と作図問題
3.3.1 標識定規を使えば，角は三等分することができる
 三平方の定理，再訪
3.3.2 作図可能な数
3.3.3 体とその拡大
3.3.4 定規とコンパスだけでは角の三等分はできない
3.3.5  20°は定規とコンパスのみでは作図できない
3.3.6 作図の三大難問
 座標幾何学

CHAPTER 4　ベクトルとベクトル空間
4.1 幾何ベクトルから数ベクトルへ
4.1.1 幾何ベクトル
4.1.2 ベクトルの分解と1 次独立
4.1.3 ベクトル間の角度と内積
4.1.4 数ベクトルと平面座標
4.1.5 座標変換と行列の積
4.2 ベクトル空間
4.2.1 ベクトル空間の定義
4.2.2  1次独立
4.2.3 ベクトル空間の次元と基底
4.3 線形写像
4.3.1 線形写像の定義
4.3.2 連立方程式と線形写像
4.4 内積と内積空間―― 幾何ベクトルの復活
4.4.1 内積の定義
4.4.2 内積空間としての同型

CHAPTER 5　方程式を解く
5.1 多項式と方程式
5.1.1 多項式
5.1.2 方程式を解くことと，体の拡大
5.1.3 多項式はなぜ整数に似ているのか
5.1.4 多項式環のイデアル
  2 次方程式と根の公式
5.2 複素数
5.2.1 複素数の誕生
5.2.2 複素数の四則演算
5.2.3 複素数の極座標表示
5.2.4 ド・モアブルの公式
 ライプニッツの間違い
5.3 代数学の基本定理と3次・4次方程式の根
5.3.1 代数学の基本定理の証明の概要
5.3.2  1のn乗根と正多角形
5.3.3  3次方程式とカルダノの公式
 カルダノの公式と複素数
5.3.4 フェラリの4次方程式の解法
5.4 アーベルが考えたこと―― 方程式を代数的に解くことの意味
5.4.1 方程式を解くためには何が必要か
5.4.2 根の基本対称式
5.4.3 アーベルの定理―― 5 次方程式はべき根を使って解くことはできない
5.5 ラグランジュからガロアへ―― 方程式と群
5.5.1 置換と対称群
5.5.2 群の定義といくつかの例
5.5.3  2次対称群S2 と2次方程式の解法
5.5.4  3次対称群S3 と3次方程式の解法
5.5.5 ラグランジュによる3次方程式の解法の意味するもの
5.5.6　4次対称群S4 と4次方程式の解法
5.5.7  剰余類と剰余群
5.5.8  共役類と単純群
5.5.9 ガロア群
5.5.10 体上の自己同型写像とガロア群
5.5.11 体の正規拡大とガロア理論の基本定理
 

参考文献
INDEX