『大学数学の証明問題　発見へのプロセス』
阿原一志　著

まえがきに代えて

第I部　実数と微分の問題

第1話　数列の収束の問題
思考実験1 定義を理解したいが……
思考実験2 ∀ε，∃N をまず考える
思考実験3 どの男の子にも彼女がいるかどうか？
思考実験4 わからないものは放置すると……
思考実験5 0.999……は1 にならない?!
思考実験6 いつまでも0 にならないとは
思考実験7 どんなに小さくb をとっても
思考実験8 (2) を再確認
第2話　最大と上限の問題
思考実験1 最大値・ワードファインドパズル・指名手配書
思考実験2 犯人がいないことを証明する
思考実験3 「任意」の壁
思考実験4 証人x を探す
思考実験5 背理法で再挑戦
思考実験6 ちょっと反省
思考実験7 上界と上限
第3話　有界な増加列の問題
思考実験1 「すべての〜，存在して〜」という形
思考実験2 簡単な例で実験
思考実験3 ちょっとムツカシそうな例ではどうか
思考実験4 背理法でイケるためには……
思考実験5 彼女のいない男の子を捜せ
思考実験6 上界があれば上限がある
思考実験7 とりあえず式をとり出してみたいが……
思考実験8 ゴールがどこにあるかわからない
思考実験9 狭いエリア
思考実験10 根こそぎであってほしかったが……
思考実験11 単調増加と組み合わせて
思考実験12 でも微妙に違う
思考実験13 解決！
第4話　商と余りの問題
思考実験1 回答その1
思考実験2 回答その2
思考実験3 回答その3
思考実験4 いじめじゃないか？　これ
思考実験5 整数部分が必ずとれるのか？
思考実験6 倍数列は収束しない……ハズ
思考実験7 背理法の仮定
思考実験8 ちょっと待て
思考実験9 ［用語解説］にはじめて気づく
思考実験10 背理法の証明がわからない
思考実験11 ε = 1 でとりあえず考えてみる
思考実験12 有界な単調増加数列だから？
思考実験13 余りについての考察
思考実験14 一意性の考察
第5話　有界な数列の問題
思考実験1 例を見つけるのすら難しい！
思考実験2 1 つわかった！
思考実験3 くり返しの規則がないようなものはあるのか？
思考実験4 円周率を1 万桁！
思考実験5 無限の茶葉があるならば？
思考実験6 お茶の種類が無限にあったら？
思考実験7 背理法的に考えるとすると？
思考実験8 はさみうちの定理ってなんだっけ？
思考実験9 はさみうちの定理でうまくいくと仮定すると
思考実験10 だんだん狭まっていくイメージ
思考実験11 挟むための条件
思考実験12 どうやって挟めばよいか
思考実験13 網戸を見て解決
第6話　閉集合の集積点の問題
思考実験1 開区間は開集合か？
思考実験2 収束して外へ出てしまうとは？
思考実験3 背理法の仮定が微妙につながる
思考実験4 よくわからないので絵を描いてみる
思考実験5 使っていない条件はない……？
思考実験6 絵でもう一度考えてみる
第7話　有界閉区間の問題
思考実験1 数学の女神はけっこうツメタイ
思考実験2 上界があるかどうかくらいわかりたい
思考実験3 いくらでも大きくなりうるなら
思考実験4 自分，天才だと思います！
思考実験5 上限があるということは？　もう一度くり返しか！
思考実験6 上限で使えそうな定理
思考実験7 上限と最大の違い
思考実験8 最初からまとめてみる
第8話　合成関数の微分の問題
思考実験1 最初の定義で考えたいのだが……
思考実験2 式をいじくっても求まらない
思考実験3 h とk に分けてみると？　成功？
思考実験4 ダメらしい．じゃ，2 つめの定義で
思考実験5 定義に従って式を書いてみる
思考実験6 ウッカリ式変形できない
思考実験7 なぜわざわざφと書いているのか
思考実験8 y とz を組み合わせる
思考実験9 正体みつけた！ かな？
第9話　級数の問題
思考実験1 とりあえず例を考えてみる
思考実験2 イプシロン＝エヌで行くのか？
思考実験3 プラスとマイナスが混ざれば小さくなる
思考実験4 うまくいった……気がする
思考実験5 なんかおかしい……いい感じなのだが
思考実験6 モンブランの栗を見て考えた
思考実験7 絶対収束しない
思考実験8 例としてはダメらしい……
思考実験9 進化形を発見
思考実験10 棒グラフで考えると
思考実験11 最後の問題

第II部　線形代数の問題

第10話　トレースの問題
思考実験1 まず，言葉の意味がわからないと…… 
思考実験2 適当なA,B について検算してみる
思考実験3 なんか，いつでもうまくいく？
思考実験4 面倒なことを面倒だと素直に思うことは大切
思考実験5 天才とは…… 
思考実験6 添え字はただの飾りではない
思考実験7 行列の積の点から見直す
思考実験8 どうやらこれで解決
第11話　逆行列の問題
思考実験1 初めて理屈を見つけた人だって……
思考実験2 いちおう検算してみる9
思考実験3 まずは，2×2 行列
思考実験4 なんだか本質に迫っている感じがしない…… 
思考実験5 連立方程式の消去法？
思考実験6 連立方程式と「掃き出し法」との対応
思考実験7 わざわざn×(2n) 行列を考えるのはなぜか…… 
思考実験8 気晴らしに外出でもして考えよう
思考実験9 ゴールは近いような気がする！
思考実験10 最後の進展が見つからない
思考実験11 すべての状況が揃ったような気がするが
思考実験12 3 つの連立方程式を縦に並べて書いてみた
思考実験13 一般のn について
第12話　直交行列の問題
思考実験1 自力証明への遠い道のり
思考実験2 内積とノルムの関係
思考実験3 思考実験不可能……？！
思考実験4 もう一度チャレンジ
思考実験5 悔しいので図に描いてみる
思考実験6 θ = θ′を示したいのだが…… 
思考実験7 笑いがこみ上げてしまったよ
思考実験8 余弦定理と内積のカンケイ
思考実験9 次くらいにやさしそう
思考実験10 順序が逆ならば，うまくいきそうなので……
思考実験11 ここまで来て新たな問題が…… 
思考実験12 n = 2 のときで試す
思考実験13 「任意の」⇒ 恒等式
第13話　置換の符号の問題
思考実験1 まずは，n = 2 の場合
思考実験2 つぎに，n = 3 の場合
思考実験3 あれから数日，喫茶店でひらめいたこと
思考実験4 ちゃんとわかったわけではないが，こういうこと？
思考実験5 n に関する数学的帰納法？
思考実験6 さて，後半の問題
思考実験7 ぐぐっとにらんで，r の偶奇を判定
思考実験8 アミダクジを思い出す
思考実験9 任意の置換をアミダクジで作ることができれば
思考実験10 謎謎謎謎謎謎謎謎謎謎謎……
思考実験11 トーナメントのやぐら
思考実験12 なにか，大変すばらしいことがいえているような
思考実験13 背中に寒気が走った……
第14話　行列式の問題
思考実験1 こういうのも関数と呼ぶ，らしい
思考実験2 ルービック・キューブのように組み合わせて使う
思考実験3 誰か式の使い方を教えてくれ！
思考実験4 一歩一歩進むより仕方ない
思考実験5 この問題は意地が悪いな
思考実験6 なんだかわかりそうな気が
思考実験7 前の話でやった「アミダクジ」！ 
思考実験8 足し算の式(14.2) の使い方
思考実験9 あれ，間違えたか？ 
思考実験10 新たな問題が出現
思考実験11 これでずいぶん前進できた
思考実験12 「同じものがあると0」というルール
思考実験13 行列式のサラスの公式
第15話　実対称行列の問題
思考実験1 2×2 行列で，実験
思考実験2 固有値が複素数というときは？
思考実験3 3×3 行列のときにαの式がどうなるか？
思考実験4 x + yi をx - yi にする操作
思考実験5 袋小路に入り込んでしまった感じ
思考実験6 tA = Aが使えるような展開にもっていく？
思考実験7 複素共役の複素共役は？
思考実験8 「実対称行列A」の意味！
思考実験9 これだとα=（αの共役） が示せない？
第16話　内積の問題
思考実験1 影も形もわからないF
思考実験2 逆算してみてはどうだろうか
思考実験3 固有値が0 以下だと何が困るの？
思考実験4 n = 1 で考えてみる
思考実験5 何かわかった気がするが……
思考実験6 やっと少し見えてきた気がする
思考実験7 F(1,1) の値が決まればF(a,b) は全部求まる
思考実験8 ハハハ．こうなるのか
思考実験9 イロイロ考えが錯綜中…… 
思考実験10 ちょっと閃いた
思考実験11 わははははは！ 対称行列だ！ 
思考実験12 「正値」がまだわかっていない
思考実験13 やったー！ そういうことか！
思考実験14 対偶命題をとれば
思考実験15 やっぱり釈然としないなぁ……
第17話　基底の問題
思考実験1 R の基底【1】R1 で考えてみる
思考実験2 R の基底【2】2 つのベクトルでは基底にならない
思考実験3 R2 の基底【1】ベクトル1 つでは基底にならない
思考実験4 R2 の基底【2】やっぱり「任意」がヤッカイだ
思考実験5 R2 の基底【3】3 つの平面ベクトルは線形独立？
思考実験6 これまでのまとめ，そして数学的帰納法
思考実験7 「任意」の壁，再び
思考実験8 行列の掛け算の式に書き直してみる
思考実験9 どうやら，解決
第18話対角化の問題
思考実験1 まずは，簡単な例で試し！
思考実験2 2×2 行列だと，どうなる？
思考実験3 固有値と固有ベクトルの式
思考実験4 あとは逆行列，なのだが
思考実験5 1 つひとつ成分で考えてみよう
思考実験6 あとはP-1 の計算

第III部　解答編
第1話　数列の収束の問題［ワークシート］
第1話　数列の収束の問題［宿題］
第2話　最大と上限の問題［ワークシート］
第2話　最大と上限の問題［宿題］
第3話　有界な増加列の問題［ワークシート］
第3話　有界な増加列の問題［宿題］
第4話　商と余りの問題［ワークシート］
第4話　商と余りの問題［宿題］
第5話　有界な数列の問題［ワークシート］
第5話　有界な数列の問題［宿題］
第6話　閉集合の集積点の問題［ワークシート］
第6話　閉集合の集積点の問題［宿題］
第7話　有界閉区間の問題［ワークシート］
第7話　有界閉区間の問題［宿題］
第8話　合成関数の微分の問題［ワークシート］
第9話　級数の問題［ワークシート］
第9話　級数の問題［宿題］
第10話　トレースの問題［ワークシート］
第10話　トレースの問題［宿題］
第11話　逆行列の問題［ワークシート］
第11話　逆行列の問題［宿題］
第12話　直交行列の問題［ワークシート］
第12話　直交行列の問題［宿題］
第13話　置換の符号の問題［ワークシート］
第13話　置換の符号の問題［宿題］
第14話　行列式の問題［ワークシート］
第14話　行列式の問題［宿題］
第15話　実対称行列の問題［ワークシート］
第15話　実対称行列の問題［宿題］
第16話　内積の問題［ワークシート］
第16話　内積の問題［宿題］
第17話　基底の問題［ワークシート］
第17話　基底の問題［宿題］
第18話　対角化の問題［ワークシート］
第18話　対角化の問題［宿題］

記号論理学ミニ入門

あとがきに代えて