『難問克服　解いてわかるガロア理論』
藤田岳彦　著

目　次

まえがき

Chapter 1. 高校数学+α からの準備
問題01 [基礎] 集合
問題02 [基礎] 写像1（基礎）
問題03 [基礎] 写像2（置換）
問題04 [基礎] 命題と論理
問題05 [標準] 類別と商空間
問題06 [基礎] 整数の性質1
問題07 [基礎] 整数の性質2
問題08 [基礎] 整数の性質3
問題09 [基礎] 多項式の性質1
問題10 [標準] 多項式の性質2
問題11 [基礎] 複素数
問題12 [基礎] 複素平面
問題13 [発展] 大学入試問題（連分数）
問題14 [発展] 大学入試問題（互除法とフィボナッチ数列）
Tea Time ●あみだくじと置換
Tea Time ●p 進数による(-1) × (-1) = 1 の説明

Chapter 2. 大学数学からの準備
問題15 [基礎] 線型代数の復習（1次独立，1次従属，線型空間）
問題16 [基礎] 線型代数の復習（部分線型空間，基底，掃出し法）
問題17 [標準] 線型代数の復習（線型写像，階数，次元定理）
問題18 [基礎] 線型代数の復習（行列式，逆行列）
問題19 [基礎] 線型代数の復習（固有値）
問題20 [基礎] 線型代数の復習（内積空間，正規直交系）
問題21 [基礎] 距離空間
問題22 [発展] 距離空間（p進距離，p進体）
問題23 [基礎] 集合の濃度
Tea Time ●N×N からN への全単射写像
Tea Time ●掃出し法の詳しい復習

Chapter 3. 多項式と方程式
問題24 [標準] 判別式
問題25 [標準] 3次方程式，4次方程式
問題26 [発展] デカルトの符号律，スツルムの定理
問題27 [発展] ルジャンドルの多項式
問題28 [発展] チェビシェフの多項式
問題29 [発展] チェビシェフ多項式に関する大学入試問題
問題30 [標準] 既約多項式
問題31 [標準] 円分多項式
問題32 [発展] ファイナンスにおける利率理論への応用
問題33 [発展] 掛谷の定理
問題34 [発展] ニュートン法，ホーナー法
Tea Time ●デカルトの符号則の説明
Tea Time ●スツルムの定理の説明
Tea Time ●ガウスの定理の証明

Chapter 4. 群論
問題35 [基礎] 群の例1 
問題36 [基礎] 群の例2 Z/nZ, (Z/nZ)*
問題37 [基礎] ラグランジュの定理，正規部分群
問題38 [基礎] 群の例3
問題39 [基礎] 群の例4 対称群
問題40 [標準] 共役類と類等式
問題41 [標準] 群の例5 正2面体群
問題42 [標準] 群の直積と有限アーベル群の基本定理
問題43 [発展] シローの定理
問題44 [発展] 可解群
Tea Time ●素数が無限個あることの群論的証明
Tea Time ●シローの定理の証明
Tea Time ●(12k)(k = 3) が 交代群 Anを生成することの証明
Tea Time ●コーシーの定理の証明

Chapter 5. 環，イデアル，整域
問題45 [基礎] 環の定義と基本的性質
問題46 [基礎] イデアル，極大イデアル，素イデアル
問題47 [標準] UFD, PID, ユークリッド整域
問題48 [標準] ガウス整数
問題49 [発展] ペル方程式と大学入試問題
問題50 [発展] 加群と単因子
Tea Time ● 「ユークリッド整域⇒単項イデアル整域」の証明
Tea Time ● 「単項イデアル整域⇒一意分解可能整域」の証明
Tea Time ● 「I がR の極大イデアル⇔ R/I が体」の証明
Tea Time ● 「I がR の素イデアル⇔ R/I が整域」の証明

Chapter 6. 体論とガロア理論
問題51 [基礎] 体の定義と簡単な例
問題52 [基礎] 体へのプレリュード・大学入試問題から
問題53 [基礎] 体の自己同型群
問題54 [標準] 分解体，代数拡大体，ガロア拡大体
問題55 [標準] ガロアの基本定理
問題56 [標準] 円分体とそのガロア群
問題57 [標準] 3次方程式
問題58 [標準] 4次方程式
問題59 [発展] ガロア理論の証明1
問題60 [発展] ガロア理論の証明2
問題61 [発展] ガロア理論の基本定理の証明と具体例
問題62 [発展] ガロアの基本定理の具体例2
問題63 [発展] ガロア理論（一般係数）
問題64 [発展] ガロア理論（方程式がいつ解けるか？ 解けないか？）
Tea Time ●正17角形が作図可能であること
Tea Time ●3次方程式，4次方程式の解法，中間体，判別式の関係
Tea Time ●6章の内容にまつわる数学史

Chapter 7. 整数論
問題65 [標準] 原始根，位数
問題66 [標準] 平方剰余の相互法則へのプレリュード
問題67 [標準] 平方剰余の相互法則
問題68 [発展] 平方剰余の相互法則の証明
問題69 [標準] 有限可換群上のフーリエ解析
問題70 [発展] 平方剰余の相互法則の有限フーリエ解析による証明
Tea Time ●原始根をもつnの決定
Tea Time ●ウィルソンの定理のいろいろな証明
Tea Time ●第二補充則の証明
Tea Time ●フィボナッチ数列，ビネの公式，平方剰余の相互法則
Tea Time ●フェルマー素数とぺパンテスト，平方剰余の相互法則

Chapter 8. リーマンゼータ関数
問題71 [標準] リーマンゼータ関数
問題72 [標準] バーゼル問題1
問題73 [標準] バーゼル問題2（フーリエ級数展開）
問題74 [発展] バーゼル問題3
問題75 [発展] バーゼル問題4
問題76 [発展] バーゼル問題5（初等確率論を用いる証明）
問題77 [発展] π の無理数性と大学入試問題
問題78 [発展] 無理数性と定積分
問題79 [発展] L 関数
Tea Time ●1 - 1/33 + 1/53- ･･･ =  π3/32 の新しい証明

Chapter 9. いろいろな問題
問題80 [標準] シーザー暗号，アフィン暗号，RSA 暗号
問題81 [標準] 日本数学オリンピック予選問題1
問題82 [標準] 日本数学オリンピック予選問題2+大学入試問題
問題83 [標準] 日本数学オリンピック予選問題3
問題84 [標準] 世界の数学オリンピック予選問題
問題85 [標準] 中国女子数学オリンピックの問題
問題86 [発展] π の近似値と定積分
問題87 [発展] 群論の補足
問題88 [標準] 有限体1
問題89 [発展] 有限体2
問題90 [標準] 有限体の応用（誤り訂正符号）
問題91 [標準] 論理
問題92 [標準] ブール代数
問題93 [標準] 集合と写像補充問題
問題94 [標準] 母関数
問題95 [発展] メビウスの反転公式1
問題96 [発展] メビウスの反転公式2
問題97 [標準] 中国剰余定理
問題98 [標準] 群のいろいろな問題
問題99 [標準] 環のいろいろな問題
問題100 [標準] 体とガロア理論のいろいろな問題
Tea Time ●循環小数と原始根
Tea Time ●有限体Fpn の存在
Tea Time ●母関数と不定方程式（ディオファンタス方程式）
Tea Time ●母関数，カタラン数，結合法則

参考文献
索　引